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Revista Ingeniantes 2018 Año 5 No.2 Vol.1
∑ ≈ ∑= ( − µ)( − µ)′ = ′ E Ec. (5) vectores propios sólo servirían para abarcar el resto
del espacio original de X, el espacio de las imágenes
de w por h píxeles, pero no servirían para representar
A continuación, sólo resta realizar el cálculo de los los rostros. De estos vectores propios, la cantidad de
vectores propios de la matriz de covariancia. Si los ellos, que contienen información útil o valor propio ma-
vectores rostro del entrenamiento son de dimensión yor de cero, es igual a la cantidad de vectores lineal-
w*h, las dimensiones de la matriz de covariancia esti- mente independientes del conjunto de entrenamiento
mada ∑_x serán de ancho w*h y altura w*h. Por ejem- menos uno. De esta manera, se obtienen los vectores
plo, si se utilizan imágenes de entrenamiento con di- propios que definen el nuevo espacio, el espacio de
mensiones w=128 y h=128, la cantidad de elementos los rostros. Los vectores resultantes tienen apariencia
de la matriz de covariancia es 1284, o sea más de 268 de rostros y por ello en un inicio fueron llamadas Ei-
millones. La solución de este problema se puede ver genpictures o imágenes propias y posteriormente Ei-
a continuación. genfaces o caras propias. En la Figura 6 se muestran
las cinco primeras Eigenfaces que se generaron en
La Descomposición en Valores Singulares (SVD-Sin- esta etapa del sistema aquí presentado con los algo-
gular Value Decomposition), permite descomponer ritmos implantados usando un conjunto de 57 imáge-
una matriz en un producto de tres matrices aplicada a nes de entrenamiento.
la matriz Mx de la Ec. 6.
= 12 Ec. (6)
Si Mx es una matriz de w*h filas y una cantidad de co-
lumnas w*h mayor que N, lo que siempre es el caso,
la matriz U es de las mismas dimensiones y las matri-
ces V y A1/2 son cuadradas de dimensiones N por N.
Además, la matriz A1/2 es diagonal como muestra la
Figura 5.
Figura 5. Ejemplo gráfico de la Descomposición en Valores Sin- Figura 6. Primeras cinco Eigenfaces generadas
gulares
En el proceso de generación de Eigenfaces, se cuenta
La propiedad que resulta útil de la SVD es que las N con un conjunto de N imágenes de rostros Xi, la cuales
columnas de la matriz U son vectores propios de la se utilizan para un conjunto de entrenamiento buscan-
matriz XXT, y los elementos de la matriz A1/2 son las do representarlas en un espacio de menor dimensión.
raíces cuadradas de los valores propios correspon- Para esto, se consideró el uso de las imágenes como
dientes a estos vectores. La estimación de la matriz realización del proceso aleatorio vectorial de imáge-
Sx no era exactamente XXT, sino que además se divi- nes de rostros y se aplicó el PCA a este vector. Como
día este producto por N. Pero esto no importa ya que resultado, se obtuvieron N vectores propios (Eigenfa-
los vectores y valores propios de una matriz y los de ces) ortonormales y con N-1 de ellos se generaron
la misma matriz dividida por un escalar son iguales, sin error las N rostros del conjunto de entrenamiento,
salvo por el hecho de que los valores propios también como se muestra en la Figura 7.
quedan divididos por el mismo número. Los N vecto-
res propios que genera la SVD son capaces de ca- Figura 7. Proceso de generación de Eigenfaces
racterizar los vectores correspondientes al conjunto
de imágenes de rostros de entrenamiento. El resto de En la fase de extracción de características se realizó
el análisis de componentes principales con el cual se
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